생각하는개발자

버전 1.2, 2003년 2월

업데이트 정보

버전 1.2

Quat에서 Axis으로 변환하는 공식을 조금 수정했습니다. 스케일을 구하는데 제곱근을 안했거든여! 지적해 준 Shi씨에게 감사드립니다.

버전 1.0 에서 1.1로

4원수의 놈(norm)은 q.q의 제곱근을 취해서 구해야 합니다. 이 사실을 많은 독자분들이 지적해주셨습니다. 그래서 제가 복소수의 유클리드(Euclid) 요소의 정의를 확인한 후에 다음과 같은 놈 속성이 앞의 크기의 정의와 모순된다는 사실을 알았습니다.

	|| u+v || <= || u || + || v ||

샘플코드도 이것을 반영했습니다.

처음에

저는 쿼터니언이라는 용어가 마치 비밀스러운 어둠의 힘을 가지고 있는 암흑물체에 관한 양자론 용어처럼 느껴집니다. 여러분도 역시 이 어둠의 힘에 매료되었다면 이 글이 도움이 될 것입니다(그렇게 되기를 바랍니다). 이 글은 쿼터니언을 이용해서 회전을 하는 방법을 보여주어 쿼터니언을 좀더 쉽게 이해하는데 도움을 줄 것입니다. 만약 여러분이 글에서 잘못된 내용을 발견하시면 robin@cyberversion.com로 메일을 보내주세요. 또, 이 기사를 여러분의 사이트에 실으려고 하신다면 저에게 메일을 보내주세요. 저는 저의 글이 어디에 퍼져있는지 알고 싶답니다.

왜 쿼터니언을 사용할까?

이 질문에 대답하기 위해서 우선 방향을 나타내는 일반적인 방법에 대해 논의해 보도록 합시다.

오일러 표현

이것이 현재까지 알려진 방법중 방향을 나타내는 가장 간단한 방법입니다. 오일러 표현은 각각의 축마다 축주위의 회전량을 가지고 있습니다. 따라서, 다음과 같은 0도에서 360도(혹은 0~2π)의 범위에서 변하는 3개의 값을 가집니다.

	x, y, z     <-- 전역 좌표축 주위의 회전 각도

이 값은 각각 롤, 피치, 요(혹은 피치, 롤, 요, 등 등)를 표현합니다. 방향은 3개의 각도로부터 생성되는 3개의 회전 행렬을 지정한 순서대로 곱해서 구할수 있습니다.

Note: 회전은 전역 좌표계의 좌표축을 기준으로 회전합니다. 즉 최초의 회전이 그 후의 2번째 3번째의 회전축에 영향을 주지 않습니다. 이 때문에 짐벌락(gimbal lock) 문제가 발생하게 됩니다. 짐벌락에 대해서는 조금 후에 자세히 설명하겠습니다.

회전축과 각도(Axis Angle)에 의한 표현

이 방법은 짐벌락을 피할수 있으므로 오일러각 방법보다 좀더 낫습니다. 회전축과 각도에 의한 표현은 임의의 회전축을 나타내는 단위 벡터와 단위 벡터 주위의 회전을 나타내는(0~360) 값으로 구성됩니다.

	x, y, z     <-- 임의의 축을 나타내는 단위 벡터
	angle       <-- 바로 윗줄에서 정의한 축 주위로 회전 각도

왜 이 방법이 나쁠까요?

짐벌락

오일러 표현에 있어서 회전은 전역 좌표계에서 일어나기 때문에 한 축의 회전이 다른 축의 회전과 겹치는(override) 문제가 발생합니다. 따라서 회전을 할 수 있는 축 하나를 잃게 됩니다. 이것을 짐벌락이라고 합니다.

예를 들어, X축과 평행한 어떤 벡터를 Y축주위로 회전해서 그 벡터가 Z축과 평행하게 되었다고 하면 이 때, Z축주위로 아무리 회전시켜도, 벡터의 방향은 전혀 변하지 않게 됩니다.

나중에 여러분에게 짐벌락의 예와 쿼터니언을 사용해서 짐벌락을 해결하는 방법을 보여드리겠습니다.

보간 문제

회전축 표현이 짐벌락 문제로 부터 자유롭긴 하지만 두개의 회전을 보간하는 경우, 또 다른 문제가 발생합니다. 보간계산을 마친 회전들이 부드럽지 못하여 회전 애니메이션이 삑사리가 날 수도 있습니다. 오일러 표현도 마찬가지로 이 문제를 가지고 있습니다.

자. 쿼터니언으로 빠져 봅시다 !

시작하기에 앞서, 몇가지 가정을 세우겠습니다. 저는 수학적인 이해가 중요시되는 글에서 수학적인 내용들을 대충 생략해버리는 글들에 진절머리가 납니다. 이런 글들은 독자들을 혼란에 빠뜨리기 쉽상입니다.

좌표계 - 이 글은 OpenGL과 같은 오른손 좌표계를 사용합니다. 만약 여러분이 Direct3D 같은 왼손 좌표계를 사용하고 계시다면 행렬들을 전치(transpose)하셔야 합니다. 이미 Direct3D의 샘플들은 쿼터니언 라이브리러를 가지고 있다는 사실에 유념해주시기 바랍니다. 그럼에도 불구하고 저는 여러분이 그 라이브러리를 사용하시기 전에 그 내부가 어떻게 구성되는지를 한번 짚고 넘어갔으면 하는 바램입니다.

회전순서 - 오일러 표현에서 회전 순서는 X->Y->Z의 순입니다. 행렬 형태로 아래와 같이 표현합니다.

	RotX * RotY * RotZ      <-- 매우 중요

행렬 - 행렬은 OpenGL 처럼 열우선 방식으로 합니다.

	   예 [ 0  4  8  12
		1  5  9  13
		2  6  10 14
		3  7  11 15 ]

벡터와 점 - 변환을 위해 벡터와 점은 4x1의 행렬로 표현합니다. 다음과 같은 모습입니다.

	   회전 행렬 * [ vx
			vy
			vz
			1  ]  <-- 4x1 벡터

저는 특히 Direct3D보다 OpenGL을 선호하지는 않습니다. 그저 제가 OpenGL을 먼저 배웠고, 쿼터니언도 OpenGL을 통해 익혔을 뿐입니다.

Note: 만약 X->Y->Z 순서가 아닌 다른 회전 순서를 지정하면 몇몇 쿼터니언의 함수들을 다시 구현해야 합니다. 특히 오일러 표현을 다루는 함수들이 그렇습니다.

쿼터니언이란 무엇인가?

복소수는 i라는 기호를 사용하여 정의하는 허수(가상의 수)입니다. i는 i * i = -1 라는 성질을 가지고 있습니다.

쿼터니언은 복소수의 확장입니다. i만 사용하는 것이 아니라 제곱근이 ―1 이 되는 3개의 허수를 가집니다. 이 3개의 수는 보통 i, j, k로 표기합니다. 다시 말해 이것은 다음과 같은 성질을 가집니다.

	j * j = -1
	k * k = -1

따라서 쿼터니언을 아래와 같이 표현할 수 있습니다.

	q = w + xi + yj + zk

여기서 w는 실수, x, y, z는 복소수입니다.

흔히 사용하는 또 다른 표현은 아래처럼 벡터형태로 표현할수 있습니다.

	q = [ w, v ]

여기서 v = (x, y, z)는 "벡터"라고 말하며 w는 "스칼라"입니다.

v를 벡터라고 부르지만 이것은 일반적인 3차원 벡터가 아닌 4 차원 공간상에 벡터를 표현한 것으로 직관적으로 시각화할 수 없습니다.

항등 쿼터니언

벡터와 다르게 2개의 항등 쿼터니언이 있습니다.

곱 항등 쿼터니언은 아래 처럼 표현합니다.

	q = [1, (0, 0, 0)]

그래서 이 곱 항등 쿼터니언과 곱해진 어떤 쿼터니언도 변하지 않습니다.

가산 항등 쿼터니언은 (저희는 사용하지 않습니다)은 아래처럼 표현합니다.

	q = [0, (0, 0, 0)]

방향 표현으로 쿼터니언 사용하기

우선 저는 쿼터니언이 벡터가 아니라는 사실을 말씀드리고 싶습니다. 따라서 여기서 벡터 수학을 사용하지 말아주십시요.

이 부분은 매우 수학적인 내용을 다룰 것입니다. 참을성을 가지고 제 설명을 읽어주세요.

우선 쿼터니언의 크기를 정의합니다.

	|| q || = Norm(q) = sqrt(w2 + x2 + y2 + z2)

단위 쿼터니언은 아래와 같은 속성을 가지고 있습니다.

	w2 + x2 + y2 + z2 = 1

그 때문에 쿼터니언의 정규화는 아래와 같이 구합니다

	q = q / || q || = q / sqrt(w2 + x2 + y2 + z2)

이 단위 쿼터니언은 특별합니다. 왜냐하면 단위 쿼터니언은 3D 공간에서 방향을 표현할 수 있기 때문입니다. 따라서 앞에서 논의된 두가지 방법 대신에 단위 쿼터니언을 통해 방향을 표현할 수 있습니다. 단위 쿼터니언으로 방향을 표현하려면 단위 쿼터니언을 다른 표현(예: 행렬)으로 변환하거나 반대로 변환하는 방법이 필요합니다. 이것에 대해서는 곧 설명드리겠습니다.

단위 쿼터니언 시각화 하기

단위 쿼터니언은 (x, y, z) 요소를 임의의 축, w요소를 회전 각도로 하는 4차원 공간상의 회전으로서 시각화할 수 있습니다. 모든 단위 쿼터니언들은 4D 공간에서 단위 길이를 가지는 구를 형성하게 됩니다. 다시한번 이게 무슨 소리지 하고 여러분은 직관적으로 이해가 안되실것입니다. 하지만 제가 정말 말하고 싶은 것은 쿼터니언의 스칼라 요소(w)의 부호를 반전시키는 것만으로 180도 회전한 쿼터니언을 얻을 수 있다는 것입니다.

Note: 단위 쿼터니언만을 방향표현에 사용할 수 있습니다. 이 뒤에 논할 모든 내용은 모두 단위 쿼터니언을 사용한다고 가정합니다.

쿼터니언으로부터의 변환

효과적으로 쿼터니언을 사용하려면 결국 쿼터니언을 다른 표현으로 변환해야 할 필요가 있을 것입니다. 키 눌림을 쿼터니언으로 해석할 수는 없지 않습니까? 할수 있으신 분 계신가요? 글쎄여. 아직까지는 없는 듯 하죠?

쿼터니언에서 행렬로의 변환

OpenGL와 DirectX는 행렬로 회전을 표현하기 때문에 쿼터니언->행렬 변환이 아마 가장 중요한 변환 함수일 것입니다. 왜냐하면 동차 행렬이 3D의 기본 표현이기 떄문입니다.

쿼터니언 회전과 동등한 회전 행렬은 다음과 같습니다.

	행렬 =  [ w2 + x2 - y2 - z2	2xy - 2wz		2xz + 2wy
		2xy + 2wz		w2 - x2 + y2 - z2	2yz - 2wx
		2xz - 2wy		2yz + 2wx		w2 - x2 - y2 + z2 ]

w2 + x2 + y2 + z2 = 1이 되는 단위 쿼터니언의 속성을 사용하면 위 식을 다음과 같이 간단하게 만들 수 있습니다.

	행렬 = [ 1 - 2y2 - 2z2	2xy - 2wz	2xz + 2wy
		2xy + 2wz	1 - 2x2 - 2z2	2yz - 2wx
		2xz - 2wy	2yz + 2wx	1 - 2x2 - 2y2 ]

쿼터니언으로부터 회전축과 각도에 의한 표현으로 변환

한 쿼터니언을 삼차원 공간에서의 임의축 주위의 회전축과 각도에 의한 표현으로 변환하는 방법은 다음과 같습니다.

	회전축이		(ax, ay, az)이고
	각도가		theta (라디안)이면
	각도는		angle= 2 * acos(w)가 됩니다. 

	그 때
		ax= x / scale
		ay= y / scale
		az= z / scale 이 됩니다.

	scale은 scale = sqrt (x2 + y2 + z2)입니다..

제가 알고 있는 다른 방법은 scale = sin(acos(w))을 사용하는 것입니다. 저 스스로 수학적으로 동치관계를 증명하려고 하지는 않았지만 두 방법 다 결과는 같을 것이라 생각합니다.

어쨌든, scale이 0이라면 회전이 없다는 뜻입니다. 그리고 여러분이 특별한 조치를 취하지 않는다면 회전축이 무한대가 됩니다. 따라서 scale이 0인 경우에는 언제나 회전각이 0인 임의의 단위벡터를 그 축에 설정하시면 됩니다.

간단한 예

제가 설명하려고 하는 것들에 대해서 뭐가 뭔지 모르겠다 하시는 독자분들을 위해 이제부터 간단한 예를 보여드리겠습니다.

우선 카메라 방향을 오일러 각으로 표현한다고 해봅시다. 그러면 렌더링 루프에서 다음과 같은 식을 이용하여 카메라를 위치시킵니다.

	RotateX * RotateY * RotateZ * Translate

이 때 각각의 요소는 4x4 행렬입니다.

이제 단위 쿼터니언을 사용해서 카메라의 방향을 표현하려면 먼저 쿼터니언을 행렬로 변환해야 합니다. 그러면

	(쿼터니언으로부터 변환한 회전 행렬) Rotate * Translate

같은 것이 생기게 됩니다

OpenGL에 특화한 예는 다음과 같게 될것입니다.

위의 표현은 모두 같습니다. 제가 말할려고 하는 것은 방향에 쿼터니언을 사용하는 것은 오일러나 회전축과 각도에 의한 표현과 완전히 같고, 앞서 언급한 변환 함수를 통해 상호교환이 가능하다라는 것입니다.

다만, 위의 쿼터니언에 의한 표현에는 오일러 표현법과 마찬가지로 짐벌락의 위험성이 있습니다.

역자주 – "왜 짐벌락 위험성이 있지"라는 답을 글내용상 알수가 없습니다. 

물론, 아직은 회전을 쿼터니언으로 만드는 방법을 모르시겠지만 그것은 아래 부분에서 설명하겠습니다.

Note: Direct3D나 OpenGL를 사용하시는 독자분들은 API가 행렬 연결을 처리해주기 때문에 직접 행렬을 취급하는 일은 없겠지만, 이것에 대해서 알아둘 필요가 있습니다.

쿼터니언 곱

단위쿼터니언이 3D공간에서의 한 방향을 표현하기 때문에 2개의 단위 쿼터니언간의 곱은 2개의 단위 쿼터니언의 회전을 결합한 회전을 나타내는 단위 쿼터니언이 됩니다. 놀라운 일이지만, 사실입니다.

다음과 같은 2개의 쿼터니안이 있다고 가정해봅시다.

	Q1=(w1, x1, y1, z1);
	Q2=(w2, x2, y2, z2);

이 2개의 단위 쿼터니언을 결합한 회전은 아래와 같이 구해집니다

	Q1 * Q2 =( w1.w2 - v1.v2, w1.v2 + w2.v1 + v1*v2)

이 때 ,

	v1 = (x1, y1, z1)
	v2 = (x2, y2, z2)

이 됩니다.

여기서 .와 *은 내적과 외적을 나타냅니다.

하지만 위 식을 아래와 같이 최적화할 수 있습니다.

	w = w1w2 - x1x2 - y1y2 - z1z2
	x = w1x2 + x1w2 + y1z2 - z1y2
	y = w1y2 + y1w2 + z1x2 - x1z2
	z = w1z2 + z1w2 + x1y2 - y1x2 

물론, 여타 쿼터니언들과 마찬가지로 결과 단위 쿼터니언을 다른 회전 표현으로 변환하는 것도 가능합니다. 이런 점이 바로 쿼터니언의 진정한 미학입니다. 2개의 단위 쿼터니언은 구 상에 위치하기 때문에 4차원 공간에서 이들을 곱하는 방법은 짐벌락의 문제를 해결합니다.

여기서 곱하는 순서가 중요합니다. 쿼터니언의 곱은 교환칙이 성립되지 않습니다. 즉 이것은 아래의 식을 의미합니다.

	q1 * q2 ≠ q2 * q1

Note: 2개의 쿼터니언은 동일한 좌표계 축을 참조해야 합니다. 저는 서로 다른 좌표계에서 2개의 쿼터니언을 합성하는 실수를 범한 적이 있고, 이 때 그 결과 쿼터니언이 특정 각도에서만 실패하는 이유를 알아내기 위해 많은 시간을 고민했습니다.

쿼티니언으로의 변환

이제 다른 표현법을 쿼터니언으로 변환하는 방법을 배워봅시다. 저는 샘플 프로그램에 있는 모든 변환들을 사용하지는 않지만 역운동학 등의 보다 진보된 용도로 쿼터니언 방향을 사용하려고 할 때 이것들이 필요할 것입니다.

회전축과 각도(Angle Axis)로부터 쿼터니언으로 변환

3D공간에서의 임의의 회전축을 도는 회전은 아래처럼 쿼터니언으로 변환됩니다.

회전축이		(ax, ay, az) 이고 (반드시 단위 벡터여야 함)
회전 각도를	theta (라디안)이면 
 
	w   =   cos(theta/2)
	x   =   ax * sin(theta/2)
	y   =   ay * sin(theta/2)
	z   =   az * sin(theta/2)이 됩니다.

우선 회전축이 정규화되어 있어야 합니다. 만약 정규화된 회전축 벡터의 길이가 0이라면 회전이 없는 것을 의미하므로 쿼터니언은 단위(identity) 쿼터니언으로 설정되어야 합니다.

오일러로부터 쿼터니언으로 변환

오일러로부터 쿼터니언으로의 변환은 회전순서가 올바르지 않으면 안 되기 때문에 조금더 힘듭니다. 임의축으로부터 3개의 좌표축을 분해하면 오일러 각을 3개의 독립적인 쿼터니언으로 변환해서 이 3개의 쿼터니언을 곱하면 최종 쿼터니언을 얻을 수 있습니다.

따라서 오일러 각 (a, b, c)으로 세개의 독립적인 쿼터니언을 만들수 있으며

	Qx = [ cos(a/2), (sin(a/2), 0, 0)]
	Qy = [ cos(b/2), (0, sin(b/2), 0)]
	Qz = [ cos(c/2), (0, 0, sin(c/2))]

최종 쿼터니언은 Qx * Qy * Qz로 구할수 있습니다.

역자주 –이것은 오일러 회전 순서가 x->y->z의 순서인 경우에만 해당됩니다. 다른 순서로 된다면  Qx * Qy * Qz이 다르게 표현됩니다

데모 - 짐벌락 피하기

드디어 "어떻게 쿼터니언이 짐벌락을 피할수 있지?"에 대해서 모두가 기다렸던 궁금증에 대답할 때가 왔습니다.

기본적인 아이디어는

1. 회전을 표현하는 데 쿼터니언을 사용한다.
2. 현재 방향에서 새로운 방향으로 변경하기 위해 하나의 임시 쿼터니언을 생성한다.
3. 임시 쿼터니언과 원래의 쿼터니언을 곱한다. 이렇게 하면 양쪽 모두의 회전을 합성한 새로운 방향이 얻어진다.
4. 이 결과 쿼터니언을 행렬로 변환해서 평소처럼 행렬 곱을 사용한다.

우선, 저는 샘플 코드에 대해서는 어떠한 책임도 지지 않겠습니다. 이 코드는 난잡스러고 제대로 구성되어 있지도 않습니다. 이것은 쿼터니언 테스트할 때 제 프로그램에서 사용했던 쿼터니언 코드를 간략히 줄여놓은 버전일 뿐입니다. 따라서 코드에 대해서 크게 신경을 쓰지 않았다는 점만 기억해 주셨으면 좋겠습니다(돈받고 파는 코드가 아니니까요 ^^)

저는 2개의 실행 가능한 샘플을 준비했습니다. 첫번째 프로그램인 CameraEuler.exe (http://www.gamedev.net/reference/programming/features/qpowers/CameraEuler.zip)는 오일러 각을 사용해서 카메라를 구현한 예입니다.

여러분이 주의깊게 봐야 할 부분은 main.cpp의 Main_Lopp 함수입니다.

여러분이 while 문에서 눈여겨 봐야할 곳은 다음과 같습니다.

1. X축, Y축, Z축 각각의 회전을, 3개의 각도로 보관 유지 부분
2. 키를 누르면 관련된 회전량을 조정하는 부분
3. while 문에서, 3 개의 오일러 각도를 회전 행렬로 변환해서 그것을 최종 변환 행렬에 곱하는 부분

위/아래 화살표 키는 X축의 회전, 왼쪽/오른쪽 화살표 키는 Y축회전, Insert/PageUp 키는 Z축회전을 담당합니다.

이 프로그램은, 짐벌락을 일으킵니다. 여러분이 짐벌락 현상을 보고 싶으면, 요를 90도로 취하고 X축이나 Z축회전을 시도해 보십시오. 그리고 무슨일이 일어나는지 살펴보세요.

지금부터는 쿼터니언으로 짐벌락 문제를 해결한 프로그램을 살펴봅시다. 이 프로그램은 CameraQuat.exe (http://www.gamedev.net/reference/programming/features/qpowers/CameraQuat.zip)이며 앞의 프로그램을 조금 변경한 프로그램입니다.

여러분이 while문에서 눈여겨봐야하는 곳은 다음과 같습니다.

1. 카메라 방향을 쿼터니언으로 표현한 부분
2. 키 입력으로부터 3개의 각도를 얻는 부분. 이 3개의 각도는 on/off 스윗치이며, 누적되지 않는 다는 것에 주의하십시오. 저는 while문에 이것들을 리셋했습니다. 물론 이것이 최선의 방법은 아닙니다. 그냥 신속히 처리하기 위해서 그랬을 뿐입니다.
3. 3개의 각도를 임시 쿼터니언으로 변환하는 부분
4. 임시 쿼터니언과 카메라 쿼터니언을 곱해서 합성한 방향을 얻는 부분. 곱 순서에 주의.
5. 이렇게 해 얻은 카메라 회전을 최종 변환 행렬을 위해 회전축과 각도에 의한 표현으로 변환하는 부분.

키가 눌러졌을 때, 저는 키 입력에 대응하는 고유의 축에서의 작은 회전을 나타내는 임시 쿼터니언을 생성했습니다. 그리고 임시 쿼터니언과 카메라 쿼터니언을 곱했습니다. 이 4차원 공간에서의 회전을 합성한 것이 짐벌락을 피하게 해줍니다. 여러분이 직접 이것을 해보고 자신의 눈으로 확인해주세요.

카메라 쿼터니언은 최종 변환 행렬로 합성할 수 있도록 행렬이나 그에 상응하는 형태로 변환되야 합니다. 여러분이 쿼터니언을 사용할 때, 3차원 공간과 4차원 공간은 섞일 수가 없기 때문에 항상 이 작업을 해주셔야 합니다. OpenGL의 경우에 저는 그냥 쿼터니언으로부터 회전축을 변경하기만 했고 나머지는 API에게 위임했습니다.

제가 두번째 프로그램에서 오일러 각을 회전에 사용하지 않았지만 저는 여러분이 첫번째 프로그램에서의 오일러 회전에 대해서 볼 수 있게 하기 위해서 오일러 회전 부분을 남겨 두었습니다. 오일러 각은 하나 이상의 축으로 회전시키면 올바르게 되지 않을 것입니다. 왜냐하면 쿼터니언이 카메라 쿼터니언으로부터 오일러 각을 얻는 대신 키 입력을 통해서 계산하기 때문입니다. 두번째 프로그램은 프로그램을 시작했을 때 그냥 여러분이 요 값을 90도로 회전하려는 경우에 짐벌락이 더 이상 일어나지 않는다는 것을 보기 위해서 만든 참고자료일뿐입니다.

Note: 저는 여러분에게 저의 수학 라이브러리를 사용하라고 추천하고 싶지 않습니다. 여러분이 쿼터니언을 이해하고 나서 스스로 짜 보십시오. 참고로 저는 이 코드를 전부 버리고 다시 만들 예정입니다. 이 코드들은 저에게 있어서 너무나 지저분하고 난잡한 코드입니다.

제가 보여드리지 않은 것

여러분이 이미 눈치채셔겠지만 저는 쿼터니언을 오일러 각으로 변환하는 방법에 대해서는 설명하지 않았습니다. 그 이유는 아직까지도 완벽하게 동작하는 변환을 제가 알아내지 못했기 때문입니다. 제가 알고 있는 유일한 방법은 쿼터니언으로부터 행렬을 얻고, 그 행렬로부터 오일러 각을 추출하는 것입니다. 그러나, 오일러에서 행렬 변환은 다대일 관계(sin과 cos으로 인해)이기 때문에 저는 atan2를 사용해서 그 역을 구하는 방법을 알지 못합니다. 만약 정확하게 행렬로부터 오일러 각을 추출하는 방법을 알고 계시다면 저에게 알려주세요.

제가 보여드리지 않은 다른 내용은 행렬을 쿼터니언으로 변환하는 방법입니다. 여러분이 오일러 표현과 회전축과 각도에 의한 표현을 쿼터니언으로 변환할 때 행렬을 거치지 않고도 직접변환이 가능하므로 굳이 행렬을 쿼터니언으로 변환할 필요가 없기 때문입니다.

과제 - SLERP

여러분이 쿼터니언을 완전히 이해했다고 생각하신다면 다시 한번 생각해 보십시오. 아직도 쿼터니언에 대해서 더 배워야 할 게 남아 있습니다. 제가 전에 회전축과 각도(Axis Angle)에 의한 표현이 왜 나쁠까라고 말했던 것을 기억하시나요? '보간'이라는 단어가 갑자기 떠오르지 않나요?

저는 쿼터니언을 사용한 보간에 대해서 설명한 시간을 갖지 못했습니다. 이 글은 제가 예상한 것보다 시간이 오래 걸렸습니다. 여기서 SLERP(구면 선형 보간)에 대한 기본적인 아이디어를 드리겠습니다. 이것은 기본적으로 2개의 쿼터니언 방향 사이에 일련의 쿼터니언들을 생성합니다. 일련의 쿼터니언들은 처음과 마지막 쿼터니언사이에서 부드러운 모션(움직임)의 결과를 제공합니다. 오일러와 회전축 표현으로는 일관성있게 이러한 부드러운 움직임을 만들 수 없습니다.

마지막으로

저는 이 기사가 쿼터니언 이론 뒤에 숨겨진 알수 없는 미스테리들을 속시원하게 없애주었길 바랍니다. 다시한번 마지막으로 여러분에게 당부하고 싶은 말은 서로 다른 좌표계에서 2개의 쿼터니언을 곱하지 말아주십시오. 이렇게 하시면 여러분은 고통의 시간을 맛보시게 될것입니다.

그러면 새로 찾아낸 쿼터니언의 능력에 여러분이 기뻐하시길 바라면서 저는 이제 그만 여러분과 헤어질까 합니다. 몸조심하시구여. 그리구 다시 만나뵙기를 바라면서...

원문정보

• 저자: Sobeit Void
• 원문보기: Quaternion Powers  (http://www.gamedev.net/reference/articles/article1095.asp)

번역문 정보

• 초벌번역: es
• 재벌번역: Pope Kim
• 감수: Pope Kim

현재상태

• 초벌번역시작 (2005. 8. 2)
• 초벌번역완료 (2005. 8. 7)
• 재벌번역시작 (2005. 8. 9)
• 재벌번역완료 (2005. 8. 12)
• 감수완료 (2005. 8. 12)

출처 : Tong - joonchuri님의 기본통

보통 클래스를 만들면 소멸자를 virtual(가상)함수로 만들게 됩니다.
남들이 다 하닌까.. 따라 하는 사람도 많습니다.
하지만 정확한 이유를 아는 것이 중요합니다.

클래스에서 virtual 함수를 가상함수라고 합니다.
가상함수를 두는 이유는 자신을 상속한 자손 클래스에서 해당 기능을 별도로 구현할때 주로 씁니다.

class TSoccerBall
{
;
virutal void PaintBall();
;
};

위는 축구공을 다루는 클래스라고 가정하고 축구 공을 그리는 부분은 PaintBall() 함수에서 한다고 치십다.
그런데 이 클래스가 그리는 축구공은 2002년형 피파 공인구 입니다. 이를 2006년형 공인구 모양으로 바꾸어
그리고 싶습니다.
물론 TSoccerBall 클래스의 여타 기능은 손댈 필요가 없는 상황입니다.
바로 그런 경우를 대비해서 원 설계자가 필요하면 다시 그리라고 함수를 virtual 로 선언해 놓은 것입니다.

class TSoccerBall2006 : public TSoccerBall
{
;
virutal void PaintBall();
;
virtual ~TSoccerBall2006();
};

이렇게 상속을 받아서 PaintBall() 함수를 새로 만들어 2006형 공으로 그려주면 됩니다.
원래 TSoccerBall  클래스에서는 어떤 상황에서 볼의 모양을 그리도록 내부에서 호출을 하는데
TSoccerBall2006 클래스가 상속받은 후에는 새롭게 만들어진 PaintBall() 함수를 호출하게 바뀝니다.
(물론, 굳이 virtual 로 안해도 이렇게 상속받아 새 공모양을 그리면 되지만, virtual을 쓰게 되면
조상 클래스의 포인트를 가지고도 후손 클래스의 virtual 함수를 부르게 되므로
TSoccerBall 클래스의 객체에서 PaintBall() 을 불러도 2006형 공 모양이 그려지게 됩니다)

이렇게 되면 원래 2002년형 볼을 그리도록 되어 있던 부분은 호출되지 않겠지요.
물론 TSoccerBall::PaintBall(); 로 억지로 호출할 수는 있지만, 새로운 공 모양만을 사용한다면
한번도 호출할 필요가 없어지고 그 코드는 사실 쓸모가 없게 됩니다.
이렇게 되면 이는 필요없는 코드 즉 오버헤드(overhead)가 되는 것입니다.

TSoccerBall2006 클래스는 TSoccerBall의 모든 기능을 이어 받으면서도 공모양만 바꾸었으므로
가상 함수는 정말로 유용한 것이라 아니할 수 없습니다.
그리고 2010년에 또 다른 공모양을 그리라고 새로 만든 PaintBall() 함수도 virtual 로 선언했습니다.

이런 식으로 가상함수를 만드는 것은 오버라이드(override)한다고 합니다.
인자만 다르고 함수 이름이 같은 것을 오버로딩(overloading)이라고 하는 것과 발음은 비슷해도
뜻이 완전히 틀리니 주의 하시기를...

가상함수라는 것은 위에서 잠시 봤듯이 오버헤드를 감수할만큼의 좋은 특징이 있기 때문에
너무나 흔하게 주변에서 접하는 소스에서 virtual 을 볼수 있습니다.

여기까지는 대부분 아시는 사실일 테고요.

다음은 왜 소멸자는 항상 virtual 로 만들까? 하는 문제에 대해 생각해 보겠습니다.
물론 소멸자를 virtual 로 만들지 않는다고 누가 뭐라고하는 사람 없습니다.
어디까지나 플머 마음입니다.

하지만 virtual로 하지 않으면 안되는 이유가 있습니다.
위의 예에서

TSoccerBall2006  *p2006 = new TSoccerBall2006;
TSoccerBall *p = p2006;
와 비슷한 형태로 p 가 자손 객체의 포인트를 가지고 있고
나중에
delete p;
로 객체를 소멸할때
소멸자가 virtual 이 아니면 결코 TSoccerBall2006  의 소멸자는 불려지지 않습니다.
바로 이런 문제 때문에 상속관계에 있고 리소스를 해제해야하는
소멸자는  거의 virtual 로 선언되는 것입니다.

여기서 반드시 알아야 하는 것은 생성과 소멸의 순서입니다.
생성의 과정은 반드시 조상 클래스의 생성자가 먼저 실행되고
소멸의 과정은 virtual 인 경우 자손 클래스의 소멸자가 먼저 실행됩니다.
물론 virtual 이 아니어도 자손의 소멸자가 먼저 실행되지만,
위처럼 조상 클래스 포인트가 자손 객체를 가르키는 경우의 객체 소멸시에도
virtual 인 경우는 소멸자가 안전하게 먼저 불려지게 됩니다.
이 때문에 소멸자는 거의 virtual 을 붙이게 되는 것입니다.

여러분들도 소멸자는 적절하게 상황을 판단해 virtual 을 붙이는게 좋습니다.

또 하나 기억할 것은,
일반 가상함수는 최종적으로 override된 자손의 함수만이 실행되지만
소멸자의 경우는 virtual 일지라도 모든 클래스의 소멸자가 불려진다는 사실을 알아야 합니다.
그러므로, 따로 조상 소멸자의 호출은 필요 없습니다.


너무 간단히 설명해서 초입자 분들은 조금 알아 듣기 힘들지도 모르겠는데
공부하다 보면 무슨 뜻이지 알게 될 것입니다.

그럼..

작성자 : 김태선  (jsdkts)

흔히 배열로 할당받은 메모리는 delete[] 로 해제하고, 단일 객체로 할당받은 메모리는 delete 로 해제한다고 알고 있습니다.
이것이 정답이며, 이외의 꽁수를 부리는 것은 문제를 발생시킵니다.
습관적으로 늘 이렇게 짝을 맞춰서 사용했지만, 그래도 정확하게 문제를 아는 것이 중요하다고 생각됩니다.

우선 delete 와 delete[]의 차이를 한마디로 말하라면
delete 는 단일 객체에 대한 소멸자의 호출과 메모리 환원을 하며
delete[] 는 배열객체에 대한 각각의 소멸자의 호출과 메모리 환원을 한다는 것입니다.

그러므로
ClassA  *pp = new ClassA;
delete pp;
는 아무런 문제가 없으나
ClassA  *pp = new ClassA[10];
delete pp;
과 같이 하는 경우는 pp[0]에 대한 소멸자와 메모리 해제만 이루어 집니다.
반드시
ClassA  *pp = new ClassA[10];
delete[] pp;
와 같이 해야 합니다. 그렇지 않으면 메모리 누수가 발생합니다.

혹자는 그냥 delete 만 써도 아무런 문제가 없다라고 말합니다.
이는 프로그램 종료시 할당받았던 전체 메모리가 OS에 의해 해제되기 때문입니다.
즉 메모리에 민감한 프로그램이 아닌 경우이겠지만, 정밀한 프로그램에서는 반드시 짝을 맞춰야 합니다.

실제 눈으로 확인을 해 봅시다.

다음은 테스트코드입니다. C++빌더의 테스트코드이긴 하지만 이해에 어려움은 없을 것입니다.

void    add(void *ptr)
{
    ULONG  p = (ULONG)ptr;
    Form1->Memo1->Lines->Add(String().sprintf("%08X", p));
}

void __fastcall TForm1::Button2Click(TObject *Sender)
{
    class A
    {
    private:
        void *p;
    public:
        A(void *ptr = 0)
       {
            p = ptr;
            add(this);  // 메모리 할당 받은 직후 자신의 메모리 베이스 어드레스를 표시하게 합니다.
        }
        ~A()
        {
            int k = 0;      // for trace
        }
    };

    A  *p = new A[2];

    delete[] p;        //***** 이 라인이 문제입니다.

    A  *p1 = new A;
    delete p1;
}


위 코드는 아무런 문제가 없습니다.

제 컴퓨터에 실행해서 힙 메모리 할당 번지를 보면

00D16D00   // p[0] 꺼
00D16D04   // p[1] 꺼
00D16D0C  // p1 꺼
이렇게 주소가 나옵니다.

여러번 실행해도 같은 주소만 계속 나옵니다. 메모리 할당과 해제가 완전하게 이루어진다는 뜻이죠.

그러면  delete[] p; 문장을 delete p; 로 바꾸고 실행해 보겠습니다.
처음 3개는 위와 같습니다.
00D16D00
00D16D04
00D16D0C
두번째로 함수가 다시 실행할때는 해제되지 못한 메모리로 인해 그 뒷번지에서 할당 받습니다.
00D16D10
00D16D14
00D16D1C
세번째도 마찬가지입니다. 이런식으로 메모리 잠식이 일어납니다.
00D16D20
00D16D24
00D16D2C

프로그램을 종료하고 다시 실행해 봅니다.
역시 위와 똑 같은 메모리 번지가 출력됩니다. 해제되지 못한 메모리가 OS에 되돌려졌다는 것을 알수 있습니다.

그럼..

1. A* 알고리즘이란?

A* 알고리즘은 초기노드(시작지점)에서 목표 노드(목표지점)까지의 경로를 찾는 그래프 탐색 알고리즘이다. 다른 그래프 탐색 알고리즘과 다른 점은 목표에 얼마나 근접한 것인지를 평가하는데 휴리스틱 함수를 사용한다는 것이다.

2. 알고리즘 순서

(1) 시작지점을 열린목록(Openlist)에 넣는다.

(2) 열린목록에 있는 노드 중 1개를 빼서 여덟 방향 주변노드를 탐색한다.
( 평가함수 F= G+H 를 계산 & 부모노드를 명시, 장애물과 닫힌목록은 제외한다.)
F= G+H 설명
G : 시작노드N0에서 현재노드N까지의 최단경로의 값. (수직,수평 +1, 대각선일 경우 +1.41)
H : 현재노드N에서 목표노드까지의 (조건없는)최단경로의 값. (휴리스틱요소)
F :  시작노드N0에서 목표노드까지 현재노드N을 통해 갈 수 있는 모든 가능한 경로 중  최단경로의 값이 된다.

(3) 2단계에서 뺀 노드를 닫힌목록(Closelist)에 삽입한다

(4) 2단계에서 탐색한 노드들을 열린 목록(우선순위 queue)에 삽입한다
(우선순위 큐는 가장 작은 값부터 순서대로 자동정렬되는 특성을 가지기 때문에 가장 낮은 F비용을 가진 노드를 찾을 수 있다.)

(5) 열린 목록 중 가장 앞 노드를 빼고 그 노드를 닫힌 목록에 추가한다.

(6) 5단계에서 뺀 노드의 여덟방향 주요 노드를 탐색한다.
(장애물과 닫힌목록제외, 목표노드가 있는지 조사)
(끝내는 경우: 1. 만일 목표노드가 있다면 부모노드를 추적하여 역순으로 스택에 삽입 2. 열린목록이 비어있게 될 경우 목표노드를 찾는데 실패한 것, 길이 없음.)

(7) 열린목록에 존재하지 않는 노드는 열린목록에 추가하고
중복되는 노드는 G값을 서로비교하여 더 작은 값을 열린 목록으로 교체한다.

(8) 5단계부터 반복

이미 여러 블로그 아티클로도 잘 다뤄진 내용이지만 몇 가지 부수적인부수적인 내용을 덧붙여서 ActiveX 패키징 및 배포에 관한 내용을 총 정리해보았습니다. 실무에서는실무에서는 아직도 ActiveX 컨트롤에 관한 유지보수를 틈틈이 수행할 필요가 있다보니 이런 문서를문서를 작성하게 되는 것 같습니다. :-)

1. INF 파일에 대한대한 이해

INF 파일은 ActiveX 패키지 배포 시 내장되는 설치설치 정보 파일로 보통 배포되는 CAB 파일의 이름과 동일하게 맞추어서 배포합니다. 예를예를 들어 MyControl.cab을 배포한다면 MyControl.inf 파일을 내장하고 있어야 하는 것입니다.

그리고 INF 파일의 문법적인 구조에 대한 상세한 설명이 없어서 상당히 답답한답답한 때가 많습니다만 간략하게 두 가지 사례를 짚어서 설명해보도록 하겠습니다.

a. Hooking 없이 설치하는 경우

Hooking이란 설치 도중에 별도의별도의 외부 프로세스를 이용하여 설치 자체를 자동화하거나 설치 전/후 과정을 제어하기 위한위한 일종의 옵션 기능입니다. ActiveX에 수많은 보안 결함이 존재하지만 디자인적으로 보았을 때에도때에도 충분히 문제가 드러납니다. 대부분 간단한 유형의 ActiveX 컨트롤은 Hooking 기능 없이없이 배포가 되는 편입니다. 다음의 샘플 INF 코드를 살펴보기로 합니다.

접기

접기

흔히 볼 수 있는 형태의 INFINF 파일입니다. 제일 상단에 있는 것이 INF 파일의 형식에 관한 기본 정보이고정보이고 Windows 95 이후로부터는 대체로 Advanced INF 2.0 규격을 따르는 것 같네요.같네요. (시그니처에 Windows 95의 코드 네임인 Chicago가 적혀있는 것으로 보았을 때도 그러합니다.)그러합니다.)

하단의 [Add.Code] 섹션에서는 이 CAB 파일을 통해서 배포될 파일들을 기술합니다.기술합니다. 편의 상 파일 이름과 엔트리 이름을 일치시켜두는 것도 좋습니다. 그리고 각각의각각의 파일명으로 기술된 섹션이 해당 파일을 어떤 식으로 복사되고 관리되어야 하는지를 서술하는서술하는 부분으로 이후에 설치 제거를 할 때 근거 정보가 됩니다.

각 섹션 별로 file-win32-x86 이라는 엔트리 명이 보이는데 파일의 플랫폼과 대상대상 아키텍처를 지정하는 부분입니다. 옛날 (NT 시절)에는 Alpha나 MIPS 계열 프로세서를 위하여,위하여, 요즈음에는 x64 (AMD64) 프로세서를 위하여 이 부분이 달리 할당될 수도 있을있을 것입니다. 그리고 thiscab 이라는 값은 이 CAB 파일 내에 파일이 있음을있음을 뜻하는 부분입니다.

DestDir 엔트리는 이 파일이 어느 위치로 복사되어야복사되어야 하는지를 나타내는 부분으로 많은 옵션이 있을것 처럼 보이지만 실제로 알려진 것은것은 세 종류인듯 합니다. 값을 10으로 지정하면 %windir% 경로 (흔히 C:\Windows)에, 11로11로 지정하면 %windir%\system32 (Windows 9x 계열 운영체제에서는 %windir%\system)에, 비워두면 OCCACHE 디렉터리 (%windir%\Downloaded(%windir%\Downloaded Program Files)에 복사됩니다.

그리고 이제 OCX 파일 섹션의 내용을내용을 살펴보기로 합니다. OCX 파일의 내용에서 꼭 확인해야 할 것은 RegisterServer=yes 항목과항목과 Version 항목, 그리고 clsid 항목입니다. Version은 OCX 파일을 빌드할 때 추가되는추가되는 Win32 리소스의 버전 테이블 정보와 일치할 필요가 있으며, clsid 항목은 실제로실제로 브라우저에서 인스턴스화되어 실행되어야 하는 COCLASS의 CLSID와 일치해야 합니다.

b.b. Hooking의 경우

더보기

ActiveX를 이용하여이용하여 대리 설치 프로그램을 기동시키기 위하여 위와 같이 작성할 수도 있지만, 컴포넌트별로컴포넌트별로 Hook을 다르게 지정할 수도 있으니 참고하시기 바랍니다. Hook을 실행하기 위하여 %EXTRACT_DIR%%EXTRACT_DIR% 라는 지역 환경 변수를 지정한 것을 볼 수 있고 프로그램 매개매개 변수까지 지정이 가능한 것을 보실 수 있습니다.

Hook에서 지정한지정한 프로그램의 경우 주의 사항이 한 가지 있다면, 프로그램의 실행 종료 코드가코드가 0으로 끝날 필요가 있다는 것입니다. 그렇지 않으면 설치가 중간에 실패한 것으로것으로 인지되어 브라우저에는 아무것도 표시되지 않는다고 합니다. 이를 미리 확인해보려면 패키징 하기하기 전에 Hook을 통해서 구동하려는 프로그램을 똑같이 명령 프롬프트에서 아래와 같이 실행하면실행하면 알 수 있습니다.

START /WAIT "실행할 프로그램 및 매개매개 변수들"
ECHO %ERRORLEVEL%

%ERRORLEVEL% 환경 변수의 값이 0이 아닌 것으로 나타나면 Hook 프로그램으로는 사용할 수 없을 것입니다.

2. PVK 파일과 SPCSPC 인증서 파일을 PFX 파일로 변환하기

SIGNCODE 도구에서 SIGNTOOL 도구로도구로 새롭게 바뀐 이후부터, ActiveX CAB 파일에 서명을 하거나 EXE 파일 위에위에 서명을 하는 방법이 조금 바뀌었습니다. 바로 PFX 파일을 생성하는 작업이 추가추가 된 것인데, 기존에 가지고 있는 인증서 파일 형식이 PVK 파일과 SPCSPC 파일 두 가지로 구성된 경우 아래와 같이 변환해야 합니다.

PVK2PFX -PVK "PVK 파일의 경로" -SPC "SPC 파일의 경로" -PFX "PFX"PFX 파일을 만들 경로" -PI "기존 인증서의 Password" -F

PVK2PFXPVK2PFX 유틸리티는 .NET Framework SDK v2.0 혹은 Windows SDK v6.0 이상을 설치하면설치하면 같이 따라오는 유틸리티입니다. 여기서 -PVK 스위치 다음에 PVK 파일의 경로를, -SPC-SPC 스위치 다음에 SPC 파일의 경로를 서술해주어야 하고, 그 다음 -PFX 스위치스위치 다음에 새로 만들 PFX 파일의 경로를 서술해야 합니다. 추가적으로 인증서로부터 암호를암호를 해독하고 PFX 파일에 암호를 새로 설정하기 위하여 -PI 스위치 뒤에 인증서인증서 암호를 기술합니다. 기본 동작이 기존 파일이 있을 경우 실패로 처리되는데 편의상편의상 -F 스위치를 지정하여 PFX 파일을 덮어쓰도록 실행합니다.

3. CABCAB 파일에 서명을 할 때에는 반드시 Spanning Space를 확보할 것

CAB 파일에 서명을 추가하기 위해서는 별도의 Spanning Space를 확보해야 하는데 이를이를 위해서는 CABARC 유틸리티로 압축해야 합니다. (다른 압축 유틸리티에서는 지원하지 않을 수도수도 있습니다.)

CABARC -S 6144 N "생성할 CAB 파일의 경로"경로" "파일1" "파일2" ... "파일n"

-S 스위치가 Spanning Space 확보를확보를 지시하는 스위치로 이 뒤에 Magic Constant 값 6144를 지정합니다. 이것이 인증서인증서 크기에 관한 Magic Constant로 문서화된 수치이므로 그대로 사용하면 됩니다. 새로운 파일을파일을 만들어야 하므로 N 스위치를 지정하여 모드를 변경하고, 그 다음에는 CAB 파일이파일이 생성될 경로, 그리고 그 다음부터는 CAB 파일에 포함할 파일들을 하나씩 서술하면서술하면 됩니다. 와일드 카드도 지원하므로 편리합니다.

4. 실제로 서명하고 확인하기확인하기

SIGNCODE 프로그램보다 기능이 다양하고 정교해진 SIGNTOOL을 이용해서 서명을 하려면하려면 다음의 스위치 설정을 활용합니다.

SIGNTOOL SIGN /F "PFX 파일파일 경로" /P "PFX 파일 암호" /T "타임스탬프 URL" "대상 파일 1"1" "대상 파일 2" ... "대상 파일 n"

SIGNTOOL 프로그램을프로그램을 서명 모드로 실행하기 위하여 SIGN 스위치를 지정하고, /F 스위치에는 2단계에서 만든만든 PFX 파일, 그리고 /P 스위치에는 2단계에서 지정한 인증서 암호를 입력합니다. /T/T 스위치 뒤에는 실제로 접속 가능한 타임스탬프 URL을 지정해야 하는데 이는 인증서인증서 발행 업체가 제공하는 고유 URL을 이용하면 됩니다. 마지막으로 대상 파일들을 지정하면지정하면 한꺼번에 동일한 인증서로 서명할 수 있습니다.

CAB 파일을 제외한제외한 보통의 EXE, DLL, OCX 등에 직접 서명하는 것은 별도로 빌드할 때때 설정해주어야 할 특별 옵션같은것들은 존재하지 않습니다.

좀 더 자세한자세한 내용을 보시려면 아래 Article들도 참고하시면 좋겠습니다.

http://ditongs.egloos.com/1511212
http://littletrue.egloos.com/3968904